كيفية حل المعادلة التربيعية

حل المعادلات التربيعية

• أ. ما هي المعادلة التربيعية؟
• ب. حل المعادلات التربيعية
• ج. حل المعادلات التربيعية ذهنيًا
• د. استخدام صيغة فيت-ت
  • نظرية فييتا
  • نظرية فيت العكسية
• هـ. مثال على حل المعادلة التربيعية
• و. التحليل إلى عوامل
• ج. حل المعادلات التربيعية التي تحتوي على معاملات

أ. ما هي المعادلة التربيعية؟

المعادلة التربيعية هي معادلة من النموذج (a ≠ 0) (1).

بما أن x هو المتغير غير المعروف وبما أن هناك مجهول واحد فقط، فإنها تسمى أيضًا معادلة "المتغير الفردي". الأرقام أ، ب، ج هي أرقام معروفة، تسمى معاملات المعادلة؛ يمكن التمييز بينها من خلال تسميتها على التوالي: معامل تربيعي، ومعامل من الدرجة الأولى، ومعامل حر أو ثابت.

المعادلة التربيعية هي نوع من المعادلات متعددة الحدود، وهي تحتوي فقط على قوى x والتي هي أعداد طبيعية.

حل المعادلة التربيعية هو إيجاد قيم x بحيث عندما يتم تعويض x في المعادلة (1) يتم تحقيق ax2+bx+c=0. هناك أربع طرق شائعة لحل المعادلات التربيعية: التحليل إلى عوامل؛ طريقة الجذر التربيعي؛ استخدم الصيغة الجذرية؛ الرسم البياني.

ب. حل المعادلات التربيعية

الخطوة 1: احسب Δ=b2-4ac

الخطوة 2: قارن Δ مع 0

• Δ < 0=""> المعادلة (1) ليس لها حل
• Δ = 0 => المعادلة (1) لها حل مزدوج
• Δ > 0 => المعادلة (1) لها حلين مختلفين، نستخدم صيغة الحل التالية :

و

ج. حل المعادلات التربيعية ذهنيًا

• إذا كانت المعادلة تحتوي على a + b + c = 0 فإن المعادلة لها حل.
• إذا كانت المعادلة تحتوي على a - b + c = 0 فإن المعادلة لها الحل:

د. استخدام صيغة فيت-ت

نظرية فييتا

إذا كان هو الحل للمعادلة فإن

نظرية فيت العكسية

إذا كان هناك عددان موجودان، فإنهما حلان للمعادلة، (توجد عندما)

هـ. مثال على حل المعادلة التربيعية

مثال 1: حل المعادلة التربيعية التالية: x2 - 49x - 50 = 0

دليل الحلول

الطريقة 1: استخدم صيغة الجذر (أ = 1؛ ب = -49؛ ج = -50)

لأن ∆ > 0، المعادلة لها حلين مختلفين.

الطريقة الثانية: الحساب الذهني

لأن أ – ب + ج = -1 – (-49) + (-50) = 0

لذا فإن المعادلة لها حلين.

الطريقة الثالثة:

وفقا لنظرية فيت لدينا:

لذا فإن المعادلة لها حلين:

مثال 2: حل المعادلة 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => المعادلة المعطاة (2) لها حلين مختلفين.

و

يمكنك أيضًا حساب الحل بسرعة عن طريق الحساب الذهني، لأنك ترى أن 4-(-2)+6=0، لذا x1 = -1، x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. الحل هو نفسه كما في الأعلى.

مثال 3: حل المعادلة 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

احسب Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) له حلين مختلفين:

و

إن التحقق من أنك حسبت الحل بشكل صحيح أمر سهل للغاية، فقط قم باستبدال x1، x2 في المعادلة 3 بالتناوب، إذا كانت النتيجة 0 فهي صحيحة. على سبيل المثال، استبدل x1، 2.32-7.3+3=0.

مثال 4: حل المعادلة 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

احسب Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> المعادلة (4) ليس لها حل.

مثال 5: حل المعادلة x2 – 4x +4 = 0 (5)

احسب Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => المعادلة (5) لها حل مزدوج:

في الواقع، إذا كنت سريع البديهة، يمكنك أيضًا أن ترى أن هذه هي الهوية التي لا تنسى (ab)2 = a2 - 2ab + b2، لذلك من السهل إعادة كتابة (5) على النحو التالي (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

و. تحليل كثيرات الحدود

إذا كانت المعادلة (1) تحتوي على حلين مختلفين x1، x2، فيمكنك دائمًا كتابتها في النموذج التالي: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

بالعودة إلى المعادلة (2)، بعد إيجاد حلين x1، x2 يمكنك كتابتها في النموذج: 4(x-3/2)(x+1)=0.

ج. حل المعادلات التربيعية التي تحتوي على معاملات

1. المعادلة مع الحل

2. معادلة ليس لها حل

3. المعادلة لها حل وحيد (حل مزدوج أو حلين متساويين)

4. المعادلة لها حلين متميزين (مختلفين).

5. المعادلة لها حلين لهما نفس الإشارة.

6. المعادلة لها حلين بإشارات متعاكسة.

7. المعادلة لها جذرين موجبين (جذرين أكبر من 0)

8. المعادلة لها جذرين سالبين (جذرين أقل من 0)

9. المعادلة لها حلين متعاكسين.

10. حلين عكسيين

أشياء يجب تذكرها:

إلى جانب المعادلة التربيعية، هناك أيضًا نظرية فيت مع العديد من التطبيقات مثل الحساب الذهني لجذور المعادلة التربيعية المذكورة أعلاه، أو إيجاد رقمين عند معرفة المجموع والحاصل، أو تحديد علامات الجذور، أو التحليل إلى عوامل. هذه كلها معلومات ضرورية سترتبط بك في عملية تعلم الجبر، أو في تمارين حل ومناقشة المعادلات التربيعية لاحقًا، لذا عليك أن تتذكرها جيدًا وتمارسها بطلاقة.

إذا كنت تنوي دراسة البرمجة ، فأنت بحاجة أيضًا إلى معرفة أساسية بالرياضيات، وحتى معرفة متقدمة بالرياضيات، اعتمادًا على المشروع الذي ستقوم به.