صيغ التركيبات والتباديل والتباديل

ما هي الصيغة المستخدمة لحساب التركيبات والتباديل؟ سترشدك هذه المقالة إلى كيفية حساب التركيبات والصيغ الأخرى ذات الصلة.

التباديل والتركيبات هي المفاهيم الأساسية في الرياضيات والتي تتضمن اختيار العناصر من مجموعة أو مجموعة.

• التبديل هو ترتيب العناصر حسب ترتيب اختيارها من مجموعة معينة.
• الجمع هو اختيار العناصر دون مراعاة الترتيب.

جدول المحتويات

• الصيغة التركيبية
• صيغة التبديل
• التبديل 

الصيغة التركيبية

بالنظر إلى المجموعة A التي تحتوي على n عنصرًا وعدد صحيح k، (1 ≤ k ≤ n). كل مجموعة فرعية من A تحتوي على k عنصر تسمى مجموعة k-fold من n عنصر من A.

صيغة اتحاد K لـ n

صيغة خصائص المجموعة:

أمثلة على التركيبات

مثال 1: 

مجموعة من 12 طالبًا. كم عدد الطرق الموجودة:

أ) اختيار ممثلين للمجموعة

ب) اختيار شخصين وتوزيع مناصب قائد الفريق ونائب قائد الفريق.

ج) تقسيم المجموعة إلى مجموعتين، بحيث يكون قائد المجموعة ونائب قائد المجموعة في مجموعات مختلفة.

حل

أ) اختر صديقين من بين 12 صديقًا يمثلون مجموعات من 2 من 12: C122 = 66 طريقة.

ب) اختر شخصين وكلفهما بمهمة الجمع بين 2 من 12: A122 = 132 طريقة.

ج) تقسيم المجموعة إلى مجموعتين، كل مجموعة تتكون من 6 أعضاء.

حيث يكون قائد الفريق ونائب قائد الفريق في مجموعات مختلفة.

اختر 5 أصدقاء ليكونوا في نفس المجموعة كقائد الفريق من بين الأصدقاء العشرة المتبقين: C105 = 252 طريقة.

اختر 5 أشخاص ليكونوا في نفس المجموعة كنائب القائد من بين الأشخاص الخمسة المتبقين: C55 = 1 طريقة.

إذن هناك 252.1 = 252 طريقة.

صيغة التبديل

بالنظر إلى المجموعة A التي تحتوي على n عنصرًا وعدد صحيح k، (1 ≤ k ≤ n). عندما نأخذ k عناصر من A ونرتبها في ترتيب معين، نحصل على اضطراب k أضعاف لـ n عناصر من A (يسمى اضطراب n أضعاف لـ k من A).

عدد تبديلات k لمجموعة تحتوي على n عنصر هو:

صيغة التبديل:

• بعض الاتفاقيات: 0! = 1، An0 = 1، Ann = n!
• الخصائص: هذا فرز منظم وعدد العناصر التي يجب فرزها هو k: 0 ≤ k ≤ n.

على سبيل المثال: 

من الأرقام من 0 إلى 9. كم عدد الطرق لتكوين عدد طبيعي بحيث:

أ) رقم مكون من 6 أرقام مختلفة

ب) عدد مكون من 6 أرقام مختلفة ويقبل القسمة على 10

ج) الأعداد الفردية تتكون من 6 أرقام مختلفة.

حل

أ) اصنع رقمًا مكونًا من 6 أرقام مختلفة

اختر الرقم الأول من الأرقام من 1 إلى 9: هناك 9 طرق للاختيار

الأرقام المتبقية هي التبديل الخامس للأرقام التسعة المتبقية (بخلاف الرقم الأول) مع A95

إذن هناك 9A95 = 136080 رقمًا.

ب) عدد مكون من 6 أرقام مختلفة ويقبل القسمة على 10

اختر رقم الوحدة: هناك طريقة واحدة لاختيار الرقم 0

اختر الأرقام المتبقية باعتبارها التبديل الخامس للأرقام التسعة المتبقية (بخلاف الرقم 0) باستخدام A95

إذن هناك A95 = 15120 رقمًا.

ج) ليكن العدد عددًا فرديًا يتكون من 6 أرقام مختلفة من 0 إلى 9.

لأنه فردي، f ∈{1; 3؛ 5؛ 7; 9}

اختر f: هناك 5 طرق للاختيار

اختر من الأرقام {1; 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ 6؛ 7; 8; 9}\{f}: هناك 8 طرق للاختيار

اختر b، c، d، e كمركب رباعي من الأرقام الثمانية المتبقية (بخلاف f وa): لدينا A84

إذن هناك 5.8A84 = 67200 رقم.

التبديل

أ) التعريف:

- إذا كان لدينا مجموعة A مكونة من n عنصر (n ≥ 1).

كل نتيجة لترتيب n عنصر من المجموعة A تسمى تبديلا لـ n عنصر.

- ملاحظة: تختلف التبديلات المكونة من n عنصر فقط في ترتيبها.

ب) عدد التباديل:

- الرمز Pn هو عدد تبديلات n عنصر.

صيغة التبديل:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

الاتفاقية: 0! = 1؛ 1! = 1.

على سبيل المثال:  قم بترتيب 10 أشخاص، بما في ذلك 5 أولاد و5 فتيات، على مقعد. كم عدد الطرق المتاحة للترتيب بحيث:

أ) فرز أي

ب) يجلس الأولاد بجانب بعضهم البعض

ج) يجلس الأولاد والبنات بالتناوب.

حل

أ) عدد طرق ترتيب 10 أشخاص على مقعد هو عملية تبديل 10: 10!

ب) ترتيب الأولاد للجلوس بجانب بعضهم البعض. لقد وضعنا 5 أولاد في "حزمة": هناك 5! كيفية الترتيب داخل "الحزمة"

ثم قم بترتيب 5 فتيات معًا في "مجموعة" على مقعد مع: 6! كيفية الترتيب

إذن هناك 5! . 6! = 86400 طريقة لترتيب جلوس الأولاد بجانب بعضهم البعض.

ج) افترض أن هناك 10 أشخاص يجلسون على مقاعد مرقمة من 1 إلى 10.

للتبديل بين الأولاد والبنات

+ الحالة 1: يجلس الأولاد في أوضاع فردية، وتجلس الفتيات في أوضاع زوجية

عدد طرق ترتيب الأولاد: 5!

عدد طرق ترتيب البنات: 5!

إذن هناك 5! . 5! كيفية الترتيب

+ الحالة الثانية: يجلس الأولاد في أوضاع زوجية، وتجلس الفتيات في أوضاع فردية

على غرار الحالة المذكورة أعلاه لدينا 5! . 5! كيفية الترتيب

إذن هناك 2.5! . 5! = 28800 طريقة للترتيب.

الفرق بين التباديل والتركيب

يمكن فهم الفرق بين التبديل والتركيب من خلال الجدول التالي:

يمكنك زيارة قسم التعليم والتعلم في Quantrimang.com لمعرفة المزيد عن الصيغ الرياضية الأخرى.