ما هو العدد الحقيقي؟

ما هي الأعداد الحقيقية؟ ما هي الأرقام الموجودة في مجموعة الأعداد الحقيقية؟ يرجى قراءة المقال أدناه لفهم هذه المعرفة الرياضية المهمة بشكل أفضل.

عدد حقيقي

• 1. ما هو العدد الحقيقي؟
• 2. محور الأعداد الحقيقية
•  3. مقارنة الأعداد الحقيقية
• 3. خصائص مجموعة الأعداد الحقيقية
• 4. القيمة المطلقة لعدد حقيقي
• 5. تمارين نموذجية على الأعداد الحقيقية

1. ما هو العدد الحقيقي؟

• الأعداد الحقيقية هي مجموعة الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.
• المجموعة هي رمز لمجموعة الأعداد الحقيقية، وتتكون من أعداد حقيقية.

• العدد النسبي هو عدد مكتوب على شكل كسر (a, b ∈ Z, b ≠ 0). على سبيل المثال 
• مجموعة الأعداد النسبية يرمز لها بـ 
• العدد غير النسبي هو عدد عشري لا نهائي وغير متكرر. على سبيل المثال:
• مجموعة الأعداد غير النسبية يرمز لها بـ 

مجموعة الأعداد الحقيقية تغطي خط الأعداد.

على سبيل المثال:

2. محور الأعداد الحقيقية

يتم تمثيل كل عدد حقيقي بنقطة على خط الأعداد.

• وعلى العكس من ذلك، فإن كل نقطة على خط الأعداد تمثل عددًا حقيقيًا.
• فقط مجموعة الأعداد الحقيقية تملأ خط الأعداد.

 3. مقارنة الأعداد الحقيقية

طريقة

• مع أي عددين حقيقيين x، y، لدينا دائمًا x = y أو x < y أو x > y
• الأعداد الحقيقية الأكبر من 0 تسمى أعدادًا حقيقية موجبة، والأعداد الحقيقية الأصغر من 1 تسمى أعدادًا حقيقية سالبة. الرقم 0 ليس عددًا حقيقيًا موجبًا ولا سالبًا.
• مقارنة الأعداد الحقيقية الموجبة تشبه مقارنة الأعداد النسبية.
• مع كون a وb عددين حقيقيين موجبين، إذا كان a > b فإن .

مثال: املأ الرقم المناسب في المربع:

دليل الحلول

أ) -7.5(0)8 > -7.513

ب) -3.02 <>

ج) -0.4(9)854 <>

د) -1،(9)0765 <>

مثال: ترتيب الأعداد الحقيقية: بالترتيب من الأصغر إلى الأكبر

دليل الحلول

رتب الأعداد الحقيقية من الأصغر إلى الأكبر:

على سبيل المثال: أثبت أن:

مع a وb هما عددان حقيقيان موجبان إذا كان a > b فإن

دليل الحلول

إذا كان أ > ب فإن

أ، ب هما عددان حقيقيان موجبان لذا أ + ب > 0

إذا كان أ > ب فإن أ – ب > 0

ضع في اعتبارك المنتج

لأن a2 – b2 > 0

=> a2 > b2 => dpcm

3. خصائص مجموعة الأعداد الحقيقية

في المجموعة، نقوم أيضًا بتعريف عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والأسس والجذور التربيعية... وفي العمليات، تمتلك الأعداد الحقيقية أيضًا نفس خصائص العمليات في مجموعة الأعداد النسبية.

في مجموعة الأعداد الحقيقية، تتمتع العمليات بالخصائص التالية فيما يتعلق بالضرب:

• لجميع العقارات:
• أضف 0: 
• الخاصية التبديلية:
• الخصائص المشتركة: 
• الخاصية التبديلية: أ. ب = ب. أ
• الخصائص الترابطية: (أ. ب). ج = أ. (ب. ج)
• خصائص الضرب بالعدد 1:
• الخاصية التوزيعية للضرب على الجمع: أ. (ب + ج) = أ. ب + أ. ج
• لكل عدد حقيقي a ≠ 0، يوجد معكوس بحيث

- وهذا يعني أن الحسابات المذكورة أعلاه لها أيضًا خصائص تبديلية وترابطية مثل مجموعات الأرقام الأخرى. والشيء نفسه ينطبق على الطرح، والضرب، والقسمة…

العلاقة بين مجموعات الأرقام

على سبيل المثال: قم بإجراء الحساب:

دليل الحلول

على سبيل المثال: ابحث عن x، مع العلم أن:

دليل الحلول

4. القيمة المطلقة لعدد حقيقي

التعريف: المسافة من النقطة أ إلى النقطة 0 على خط الأعداد هي القيمة المطلقة للعدد أ (أ هو عدد حقيقي). القيمة المطلقة للعدد السالب هي نفسها، والقيمة المطلقة للعدد السالب هي عكسه.

ملخص:

• لو
• لو
• لو
• لو

طبيعة

• القيمة المطلقة لكل رقم ليست سلبية.
• عام: لجميع a ∈ R

خاصة:

بعض الخصائص

- عددان متساويان أو متعاكسان لهما قيمة مطلقة متساوية، والعكس صحيح، عددان متساويان في القيمة المطلقة متساويان أو متعاكسان.

ملخص:

- كل عدد أكبر من أو يساوي عكس قيمته المطلقة وفي نفس الوقت أقل من أو يساوي قيمته المطلقة.

نظرة عامة: و

- من عددين سالبين، الأصغر له القيمة المطلقة الأكبر.

نظرة عامة: إذا

- من عددين موجبين، الأصغر له القيمة المطلقة الأصغر.

نظرة عامة: إذا

- القيمة المطلقة للحاصل تساوي حاصل ضرب القيم المطلقة.

ملخص:

- القيمة المطلقة للقسمة تساوي قسمة قيمتين مطلقتين.

ملخص:

5. تمارين نموذجية على الأعداد الحقيقية

مثال 1: املأ الفراغات بالرموز المناسبة ∈، ∉، ⊂ (…):

3 …. س؛ 3 …. ر؛ 3… أنا ؛ -2.53…س؛

0.2(35) …. أنا ؛ ن …. ز؛ أنا …. ر.

تعليمات

أ) 3 ∈ س؛ 3 ∈ R ؛ 3 ∉ أنا؛ -2.53 ∈ س

ب) 0.2(35) ∉ I؛ ن ∈ ز؛ أنا ⊂ ر

مثال 2: إيجاد المجموعات

أ) س ∩ أنا؛
ب) R ∩ I.

تعليمات

أ) س ∩ I = Ø؛
ب) R ∩ I = I.

مثال 3: أدخل الرقم المناسب في (…) 

أ) – 3.02 < –="" 3,="" …="">

ب) – 7.5 … 8 > – 7.513

ج) – 0.4 … 854 < –="">

د) -1، … 0765 < –="">

تعليمات

أ) – 3.02 < –="">
ب) – 7,508 > – 7,513 ؛
ج) – 0.49854 < –="" 0.49826="">
د) -1.90765 < –="">

مثال 4: أوجد x، مع العلم أن:

3.2.x + (-1.2).x +2.7 = -4.9؛

تعليمات

3.2. x + (-1،2).x + 2،7 = -4،9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.س + 2.7 = – 4.9.

2.x = – 4.9 – 2.7

2.س = – 7.6

x = -7.6 : 2

س = -3.8

بالإضافة إلى الأعداد الحقيقية، يمكنك معرفة المزيد عن التعاريف الأخرى في الرياضيات مثل الأعداد المربعة ، والأعداد غير النسبية، والأعداد النسبية ، والأعداد الأولية ، والأعداد الطبيعية ...