ما هو العدد النسبي؟ ما هو العدد غير النسبي؟

تعتبر تعريفات وصيغ الأعداد النسبية وغير النسبية من المعارف المهمة في الرياضيات والتي يجب على الطلاب فهمها ليكون لديهم أساس رياضي متين. تقدم لك المقالة التالية تعريف وخصائص والأشكال الرياضية للأعداد النسبية وغير النسبية. يرجى الرجوع إليه.

الأعداد النسبية، الأعداد غير النسبية

• ما هو العدد النسبي؟
  • تصنيف الأعداد النسبية
  • تمثيل الأعداد النسبية على خط الأعداد
  • جمع وطرح الأعداد النسبية
  • ضرب وقسمة الأعداد النسبية
  • القيمة المطلقة لعدد نسبي
  • مقارنة عددين نسبيين
  • صيغة حساب قوة العدد النسبي
• ما هو العدد غير النسبي؟
  • مفهوم الأعداد غير النسبية
  • خصائص الأعداد غير النسبية
• ما هو الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية؟
• علاقة مجموعات الأعداد
• تمارين على الأعداد النسبية

ما هو العدد النسبي؟

- الأعداد النسبية هي مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسور (حصص). وهذا يعني أن العدد النسبي يمكن تمثيله بعدد عشري متكرر لا نهائي.

- تُكتب الأعداد النسبية على النحو التالي، حيث أن a وb عددان صحيحان ولكن يجب أن يكون b مختلفًا عن 0.

- هي مجموعة الأعداد النسبية.

=> مجموعة الأعداد النسبية: .

على سبيل المثال: ، ، … هي أعداد نسبية.

• أي عدد صحيح a هو عدد نسبي لأن العدد الصحيح a يمكن كتابته في الصورة .

على سبيل المثال: لدينا أعداد نسبية.

لدينا:

التعليق: كلها أعداد نسبية.

تصنيف الأعداد النسبية

تنقسم الأعداد النسبية إلى نوعين: الأعداد النسبية السالبة والأعداد النسبية الموجبة. خاصة:

• الأعداد النسبية السلبية: تشمل الأعداد النسبية الأقل من 0.
• الأعداد النسبية الموجبة: تشمل الأعداد النسبية الأكبر من 0.

ملحوظة: الرقم 0 ليس عددًا نسبيًا سالبًا ولا عددًا نسبيًا موجبًا.

طبيعة

• مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة قابلة للعد.
• الخاصية التبديلية:
• خاصية الجمع مع 0:
• الخصائص المشتركة:

تمثيل الأعداد النسبية على خط الأعداد

- لتمثيل الأعداد النسبية على خط الأعداد، نتبع العوامل التالية:

الخطوة 1: اكتب العدد النسبي على صورة كسر

الخطوة 2: قسّم قطعة الخط الوحدوي إلى أجزاء متساوية للحصول على قطعة خط وحدوي جديدة وهي الوحدة القديمة.

الخطوة 3: يتم تمثيل العدد النسبي من خلال النقطة A التي تقع على مسافة وحدات جديدة من النقطة 0.

• يكون A على يسار 0 إذا كان عددًا سالبًا.
• يكون A على يمين 0 إذا كان عددًا موجبًا.

على سبيل المثال: في الشكل، تمثل النقطة P العدد النسبي:

تعليمات

ينقسم خط الوحدة إلى 6 أجزاء متساوية (الوحدة الجديدة هي 1/6 من الوحدة القديمة)

تقع النقطة P على مسافة 7 وحدات جديدة من النقطة O.

والنقطة P تقع على يمين النقطة O، وبالتالي فإن P عدد نسبي موجب.

لذا فإن P يمثل عددًا نسبيًا.

جمع وطرح الأعداد النسبية

i) قواعد جمع وطرح عددين نسبيين

يمكننا جمع وطرح عددين نسبيين x و y عن طريق كتابتهما على شكل كسرين ثم تطبيق قواعد جمع وطرح الكسور.

لدينا:

ii) الخصائص

- جمع الأعداد النسبية له خصائص جمع الكسور: التبديلية، الترابطية، الجمع مع 0، الجمع مع المتضادات.

- لدينا:

أ) الخاصية التبديلية:

ب) الخصائص الترابطية:

ج) أضف 0:

د) أضف العدد المعاكس:

ثالثا، قواعد الانتقال

عند نقل مصطلح من أحد جانبي المعادلة إلى الجانب الآخر، يجب علينا تغيير إشارة هذا المصطلح.

في Q لدينا مجموع جبري، حيث يمكننا تبديل المصطلحات، ووضع أقواس لتجميع المصطلحات بشكل تعسفي مثل المجموعات الجبرية في مجموعة الأعداد الصحيحة.

• مع إذا ثم
• لدينا:

ضرب وقسمة الأعداد النسبية

i) قواعد ضرب وقسمة عددين نسبيين

- يمكننا ضرب وقسمة عددين نسبيين عن طريق كتابتهما على شكل كسور ثم تطبيق قواعد ضرب وقسمة الكسور.

• لدينا:
• لدينا:

على سبيل المثال:

ضرب الأعداد النسبية: 

قسمة الأعداد النسبية: 

ii) الخصائص

- عملية ضرب الأعداد النسبية لها أيضًا نفس خصائص عملية ضرب الكسور: خاصية التبديل، وخاصية الترابط، وخاصية الضرب في 1، وخاصية التوزيع للضرب على الجمع.

- كل عدد نسبي غير صفري له معكوس.

- لدينا:

• الخاصية التبديلية: .
• الخصائص الترابطية: .
• خاصية الضرب في 1: .
• الخصائص التوزيعية: .
• مع . مقلوب a هو .

القيمة المطلقة لعدد نسبي

- القيمة المطلقة للعدد النسبي a، والتي يرمز لها بـ ، هي المسافة من النقطة a إلى النقطة 0 على خط الأعداد.

على سبيل المثال:

(لأن )

(لأن )

مقارنة عددين نسبيين

- مع أي عددين نسبيين لدينا دائمًا إما أو أو .

- لمقارنة عددين نسبيين نقوم بما يلي:

• اكتب على هيئة كسرين لهما نفس المقام الموجب:
• قارن البسوط كأعداد صحيحة a، b:

على سبيل المثال: قارن بين عددين نسبيين: و

لدينا:

لأنه جيد.

صيغة حساب قوة العدد النسبي

صيغ حساب قوى الأعداد النسبية التي يجب عليك تذكرها

• حاصل ضرب قوتين لهما نفس القاعدة:
• قوة القوة
• قوة المنتج
• قوة الحاصل

ما هو العدد غير النسبي؟

مفهوم الأعداد غير النسبية

• عندما نذكر الأعداد النسبية فلا بد من ذكر الأعداد غير النسبية. وهي أرقام مكتوبة على شكل أعداد عشرية غير متكررة وغير لانهائية، ويرمز لها بالرمز .
• لا يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية التي ليست أعدادًا نسبية على هيئة نسب.

على سبيل المثال: 3.145248… هو عدد غير نسبي.

خصائص الأعداد غير النسبية

مجموعة الأعداد غير النسبية هي مجموعة غير قابلة للعد.

على سبيل المثال:

الأعداد غير النسبية: 0.1010010001000010000010000001… (هذا عدد عشري لا نهائي غير متكرر)

عدد الجذور التربيعية: √2 (الجذر التربيعي)

باي (π): 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288…..

ما هو الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية؟

• تتضمن الأعداد النسبية أعدادًا عشرية متكررة غير منتهية، في حين أن الأعداد غير النسبية هي أعداد عشرية غير منتهية وغير متكررة.
• الأعداد النسبية هي مجرد كسور، في حين أن الأعداد غير النسبية لها أنواع عديدة مختلفة من الأعداد.
• الأعداد النسبية هي أعداد قابلة للعد، في حين أن الأعداد غير النسبية هي أعداد غير قابلة للعد.

علاقة مجموعات الأعداد

رموز مجموعات الأرقام:

• ن: مجموعة الأعداد الطبيعية
• N*: مجموعة من الأعداد الطبيعية غير 0
• Z: مجموعة من الأعداد الصحيحة
• س: مجموعة الأعداد النسبية
• أنا: مجموعة الأعداد غير النسبية

لدينا: R = Q ∪ I.

مجموعة ن؛ ز؛ س؛ ر.

وبالتالي فإن علاقة التضمين بين مجموعات الأرقام هي: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

تمارين على الأعداد النسبية

النموذج 1: إجراء العمليات الحسابية التي تتضمن أعدادًا نسبية

طريقة الحل: لحل التمارين الخاصة بإجراء العمليات الحسابية المتعلقة بالأعداد النسبية، قم أولاً بتحويل الأعداد النسبية إلى كسور، ثم طبق قواعد الحساب مع الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد النسبية.

مثال: احسب  

إجابة:

الصف الثاني: تمثيل الأعداد النسبية على خط الأعداد

الحل: عليك تحديد ما إذا كان العدد النسبي عددًا نسبيًا موجبًا أم عددًا نسبيًا سالبًا، ثم انتقل إلى الخطوات التالية:

• إذا كان العدد النسبي a/b عددًا نسبيًا موجبًا: على خط الأعداد، وفي الاتجاه الموجب، قسّم طول وحدة واحدة إلى أجزاء متساوية b. ثم خذ نقطة على الاتجاه الموجب لمحور الثور، وأشر إلى جزء وحدد موضع العدد النسبي a/b.
• إذا كان العدد النسبي a/b عددًا نسبيًا سالبًا: على خط الأعداد، وفي الاتجاه السالب للمحور، قسّم طول وحدة واحدة إلى أجزاء متساوية b. ثم خذ نقطة على الاتجاه السالب لمحور الثور، وأشر إلى جزء وحدد موضع العدد النسبي a/b.

الصف الثالث: مقارنة الأعداد النسبية

الحل: قم بتحويل الأعداد النسبية المعطاة إلى كسور لها نفس المقام الموجب، ثم قارن بين البسوط. في المستويات الأكثر تقدمًا، يمكننا المقارنة بالكسور المتوسطة للعثور على الإجابة.

النموذج 4: تحديد ما إذا كان العدد النسبي سالبًا أو موجبًا أو 0

طريقة الحل: لحل تمارين النوع الرابع، يحتاج الطلاب إلى الاعتماد على خصائص الأعداد النسبية لتحديد ما إذا كان العدد النسبي سالبًا أو موجبًا أو 0.

على سبيل المثال: إذا كان العدد النسبي x = (a – 25)/29، حدد قيمة a بحيث:

• x هو سلبي
• x موجب
• س = 0

إجابة:

x هو عدد سالب => (أ – 25)/29 < 0=""> أ – 25 < 0=""> أ <>

x هو عدد موجب => (أ – 25)/29 > 0 => أ – 25 > 0 => أ > 25

x = 0 => (أ – 25)/29 =0 0 => أ – 25 = 0 => أ = 25

الصف الخامس: إيجاد الأعداد النسبية في الفترة وفقًا للشروط المعطاة

الحل: إذا كان السؤال يتطلب إيجاد أعداد نسبية ضمن فاصل وفقًا لشروط معينة، فنحن بحاجة إلى وضع الأعداد النسبية في نفس البسط أو المقام للعثور على الإجابة.

مثال: إيجاد قيمة m لأكبر من وأصغر من

دليل الإجابة

قم بتحويل الكسور إلى مقامات مشتركة على النحو التالي:

القاسم المشترك: 18

وفقا للسؤال لدينا:

الصف السادس: إيجاد x باستخدام الأعداد النسبية

طريقة حل المسائل الرياضية: لكي يتم إيجاد x في المسائل الرياضية باستخدام الأعداد النسبية، من الضروري إجراء اختزال للمقام المشترك وتحويل x إلى طرف واحد، والحدود المتبقية إلى 1. ومن هناك، احسب قيمة x

على سبيل المثال: ابحث عن x مع العلم أن x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

إجابة:

x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

=> س . (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6

=> x = 46/ 48 : 2/ 3

=> س = 23 . 3 / 24 . 2

=> 23/16

النموذج 7: أوجد بحيث يكون التعبير عددًا صحيحًا

طريقة حل المسائل الرياضية: بالنسبة لمسألة إيجاد أ، إذا كان البسط لا يحتوي على أ، نحتاج إلى استخدام علامة القسمة. إذا كان البسط يحتوي على a، فاستخدم علامة القسمة أو افصل البسط بالمقام. إذا كانت المشكلة تتطلب إيجاد كل من a وb في نفس الوقت، قم بتجميع a أو b وتحويلهما إلى شكل كسري للحساب.

مثال: أوجد العدد الصحيح a بشرط أن يكون 8/(a – 1) عددًا صحيحًا

إجابة:

الحالة: أ – 1 ≠ 0 => أ ≠ 1

ليكن a عددًا صحيحًا => 8 قابلًا للقسمة على (a – 1)

=> (أ - 1) هو عامل 8 => U(8) = {-8، -4، -2، -1، 1، 2، 4، 8}

=> (أ – 1) = {-8، -4، -2، -1، 2، 4، 8}

=> أ = {-7، -3، -1، 0، 3، 5، 9}

نأمل أن تكون المقالة أعلاه قد ساعدتك في فهم ما هي الأعداد النسبية، وما هي الأعداد غير النسبية، وأنواع الأعداد النسبية، وما هي رموز الأعداد النسبية، وكيفية التعرف على الأعداد النسبية لحل المشكلات بسهولة.

بالإضافة إلى المعرفة حول الأعداد غير النسبية والأعداد النسبية أعلاه، يمكنك الرجوع إلى بعض المعرفة الرياضية الأخرى مثل الكسور والأعداد المختلطة والأعداد العشرية ...