صيغة حساب حجم الجسم الصلب الدوراني مع أمثلة توضيحية

ما هي الكتلة الدوارة؟ كيفية حساب حجم الجسم الصلب الدوراني؟

الجسم المجسم الدوراني هو شكل ينشأ عن دوران مستوٍ حول محور ثابت مثل المخروط الدوراني، أو الأسطوانة الدورانية، أو الكرة الدورانية، وما إلى ذلك. فيما يلي الصيغة لحساب حجم الجسم المجسم الدوراني، يرجى الرجوع إليها.

جدول المحتويات

• احسب حجم كتلة دائرية تدور حول محور الثور
• احسب حجم كتلة دائرية تدور حول محور Oy
• مثال لحساب حجم الجسم الصلب الدوراني

احسب حجم كتلة دائرية تدور حول محور الثور

إذا دارت الكتلة الدائرية حول محور الثور، فيمكن تطبيق الصيغ التالية لحساب حجم الكتلة الدائرية الدوارة:

الحالة 1 : كتلة دائرية دوارة تم إنشاؤها بواسطة:

• الخط y=f(x)
• المحور السيني y=0
• س=أ؛ س=ب

ومن ثم فإن صيغة حساب الحجم هي:

الحالة 2 : يتم إنشاء الكتلة الدوارة بواسطة:

• الخط y=f(x)
• الخط y= g(x)
• س=أ؛ س=ب

ومن ثم فإن صيغة حساب حجم الجسم الصلب الدوراني ستكون:

مع

احسب حجم كتلة دائرية تدور حول محور Oy

إذا دارت الكتلة الدائرية حول محور Oy، فيمكن تطبيق الصيغ التالية لحساب حجم الكتلة الدائرية الدوارة:

الحالة 1 : يتم إنشاء الكتلة الدوارة بواسطة:

• الخط x=g(y)
• المحور الرأسي (x=0)
• ي=ج؛ ص = د

ومن ثم فإن صيغة حساب حجم الجسم الصلب الدوراني ستكون:

الحالة 2 : يتم إنشاء الكتلة الدوارة بواسطة

• الخط x=f(y)
• المعادلة x=g(y)
• ي=ج؛ ص = د

عندها سيكون حجم الجسم الدوراني:

مع

جدول ملخص للصيغ المستخدمة في حساب حجم الجسم الصلب ذي الدورة:

1. Vx يتم توليده بواسطة المنطقة S التي تدور حول Ox:

وصفة :

2. Vx يتم توليده بواسطة المنطقة S التي تدور حول Ox:

وصفة :

مثال لحساب حجم الجسم الصلب الدوراني

مثال 1: 

احسب حجم الجسم الدوراني الناتج عن تدوير الشكل المستوي المحدود بالمنحنى y = sinx، المحور x، وخطين مستقيمين x=0، x=π (رسم) حول المحور Ox.

حل

بتطبيق الصيغة في النظرية أعلاه لدينا

مثال 2: 

احسب حجم الجسم الدوراني الناتج عن تدوير الشكل المستوي المحدود بالمنحنى ومحور x حول محور x.

جائزة:

نحن نرى:

بالنسبة لجميع x، هذه هي معادلة نصف الدائرة مع مركز O ونصف قطر R = A يقع فوق محور Ox. عند الدوران حول محور الثور، سيشكل الشكل المسطح كرة مركزها O ونصف قطرها R = A (الشكل). لذلك لدينا دائما

 

لذا، مع هذا النوع من المشاكل، لا نحتاج إلى كتابة صيغة التكامل، ولكن يمكننا الاستنتاج بناءً على صيغة حساب حجم الكرة.

مثال 3: 

احسب حجم الجسم الواقع بين المستويين x = 0 و x = 1، مع العلم أن المقطع العرضي للجسم المقطوع بالمستوى (P) العمودي على محور الاكس عند النقطة ذات الإحداثي السيني x(0≤x≤1) هو مستطيل بطول ضلعين x و ln(x2+1).

جائزة: 

لأن المقطع العرضي مستطيل الشكل، فإن مساحة المقطع العرضي هي:

لدينا الحجم الذي يجب حسابه كـ

مثال 4: إذا أعطينا شكلًا مستويًا محدودًا بالخطوط y = 3x؛ ي = س؛ س = 0؛ x = 1 يدور حول محور الثور. احسب حجم الجسم الصلب الناتج عن الدورة.

جائزة:

إحداثيات تقاطع الخط x = 1 مع y = x و y = 3x هي النقاط C(1;1) و B(3;1). إحداثيات تقاطع الخط y = 3x مع y = x هي O(0;0).

لذا فإن حجم الجسم الصلب الدوار الذي يجب حسابه هو:

مثال 5 : إذا أعطينا شكلًا مستويًا محدودًا بالخطوط y = 2x2؛ y2 = 4x يدور حول محور الثور. احسب حجم الجسم الصلب الناتج عن الدورة.

جائزة:

مع الزمن المكافئ. إحداثيات تقاطع الخط مع هي النقاط O(0;0) و A(1;2).

لذا فإن حجم الجسم الصلب الدوار الذي يجب حسابه هو:

بالنسبة للمشاكل التي تتطلب حساب حجم جسم صلب دوراني، ما عليك سوى استخدام الصيغة الصحيحة لكل حالة والانتباه عند تحديد الحد لتتمكن من حلها. حظ سعيد!