ما هي الدالة الزوجية؟ ما هي الدالة الفردية؟

ما هي الدالة الزوجية ؟ لا تقتصر أهمية الدوال الزوجية على الدوال الفردية فحسب ، بل تحظى الدوال الفردية أيضًا باهتمام كبير. دعونا نتعلم عن هذين المفهومين معًا!

يمكن تصنيف الدوال في الرياضيات إلى دوال زوجية وفردية بناءً على تماثلها على طول المحور. الدالة الزوجية هي دالة تظل ثابتة عندما يتم إلغاء مدخلاتها (يكون المخرج هو نفسه بالنسبة إلى x و-x)، مما يعكس التناظر حول المحور y. من ناحية أخرى، تصبح الدالة الفردية سلبية عندما يتم إلغاء مدخلاتها، مما يظهر التماثل حول الأصل. تكون الدالة f زوجية إذا كانت f(-x) = f(x)، لجميع x في مجال f. تكون الدالة f دالة فردية إذا كانت f(-x) = -f(x) لجميع x في مجال f، أي:

• وظيفة زوجية:f(-x) = f(x)
• دالة فردية:f(-x) = -f(x)

في هذه المقالة سوف نناقش بالتفصيل الدوال الزوجية والفردية، تعريف الدوال الزوجية والفردية، الدوال الزوجية والفردية في علم المثلثات، رسم الدوال الزوجية والفردية والعديد من المحتويات والمعلومات الأخرى التي تحتاج إلى معرفتها.

جدول المحتويات

• ما هي الدالة الزوجية؟
• ما هي الدالة الفردية؟
• رسم بياني للدوال الزوجية والفردية
• ما هي الدالة التي ليست زوجية ولا فردية؟
• تذكر دالة فردية وزوجية شائعة
• كيفية تحديد الدوال الزوجية والفردية
• تمارين حول فحص تكافؤ الدوال

ما هي الدالة الزوجية؟

تُسمى الدالة y = f(x) ذات المجال D دالة زوجية إذا كانت تلبي الشرطين التاليين:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

على سبيل المثال: الدالة y = x² هي دالة زوجية.

ما هي الدالة الفردية؟

تُسمى الدالة y = f (x) ذات المجال D دالة فردية إذا كانت تلبي الشرطين التاليين:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

مثال: مثال: الدالة y = x هي دالة فردية.

انتباه. الشرط الأول يسمى شرط التماثل المجالي حول 0.

على سبيل المثال، D = (-2;2) هي مجموعة متماثلة حول 0، في حين أن المجموعة D' = [-2;3] ليست متماثلة حول 0.

المجموعة R = (−∞;+∞) هي مجموعة متماثلة.

ملاحظة: ليس من الضروري أن تكون الدالة زوجية أو فردية.

على سبيل المثال: الدالة y = 2x + 1 ليست دالة زوجية ولا دالة فردية لأن:

عند x = 1 لدينا f(1) = 2.1 + 1 = 3

عند x = -1 لدينا f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ القيمتان f(1) وf(-1) ليستا متساويتين ولا متعاكستين.

رسم بياني للدوال الزوجية والفردية

حتى الوظائف لها رسوم بيانية تأخذ المحور y كمحور للتناظر.

تحتوي الدالة الفردية على رسم بياني حيث يكون الأصل O هو مركز التماثل.

ما هي الدالة التي ليست زوجية ولا فردية؟

لا يمكن تعريف كل دالة على أنها زوجية أو فردية. بعض الدوال ليست دوال زوجية ولا فردية، مثل: y=x²+x، y=tan(x-1)،...

بالإضافة إلى ذلك، هناك نوع خاص من الوظائف التي تكون زوجية وفردية. على سبيل المثال، الدالة y=0

تذكر دالة فردية وزوجية شائعة

وظيفة متساوية

y = ax2 + bx + c إذا وفقط إذا كان b = 0

الدالة التربيعية

y = cosx

y = f(x)

دالة فردية

y = ax + b إذا وفقط إذا كان b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d إذا وفقط إذا كان b = d = 0

ي = جيب س؛ ي = تانكس؛ y = cotx

بعض الحالات الأخرى

F(x) هي دالة زوجية ولها مشتقة على مجالها، إذن مشتقتها هي دالة فردية.

F(x) هي دالة فردية ولها مشتقة على مجالها، إذن مشتقتها هي دالة زوجية.

إن الدالة الحدودية ذات الدرجة الفردية ليست دالة زوجية.

الدوال الحدودية ذات الدرجة الزوجية ليست دوال فردية.

كيفية تحديد الدوال الزوجية والفردية

لتحديد الدالة الفردية والزوجية، نقوم بالخطوات التالية:

الخطوة 1: ابحث عن المجال: D

إذا ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D انتقل إلى الخطوة الثالثة

إذا ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

الخطوة 2: استبدل x بـ -x واحسب f(-x)

الخطوة 3: فحص الإشارة (مقارنة f(x) وf(-x)):

° إذا f(-x) = f(x) فإن الدالة f زوجية

° إذا كانت f(-x) = -f(x) فإن الدالة f فردية

° حالات أخرى: الدالة f ليس لها تكافؤ

تمارين حول فحص تكافؤ الدوال

الدرس 4 صفحة 39 الجبر 10 الكتاب المدرسي: ضع في اعتبارك خصائص الأعداد الفردية والزوجية للوظائف التالية:

أ) ص = |س|؛

ب) ص = (س + 2)2؛

ج) ص = س3 + س؛

د) ص = س2 + س + 1.

جائزة

أ) ليكن y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R، لذا بالنسبة لـ ∀x ∈ D، عندها –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |س| = f(x).

→ لذا فإن الدالة y = |x| هي دالة زوجية.

ب) ليكن y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R، لذا بالنسبة لـ ∀x ∈ D، عندها –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ لذا فإن الدالة y = (x + 2)2 ليست زوجية ولا فردية.

ج) ليكن y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R، لذا بالنسبة لـ ∀x ∈ D، عندها –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ لذا فإن y = x3 + x هي دالة فردية.

د) ليكن y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R، لذا بالنسبة لـ ∀x ∈ D، عندها –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ لذا فإن الدالة y = x2 + x + 1 ليست زوجية ولا فردية.

هل هناك دالة معرفة في R هي دالة زوجية وفردية في نفس الوقت؟

جائزة:

من السهل أن نرى أن الدالة y = 0 هي دالة معرفة على R، وهي دالة زوجية وفردية.

افترض أن الدالة y = f (x) هي أي دالة لها مثل هذه الخصائص. ثم لكل x في R لدينا:

F (–x) = f (x) (لأن f دالة زوجية)؛

F (–x) = – f (x) (لأن f دالة فردية).

ومن هذا يمكننا أن نستنتج أنه بالنسبة لكل x في R، f(x)=−f(x)، أي f(x)=0. لذا فإن y=0 هي الدالة الوحيدة المعرفة على R، وهي دالة زوجية وفردية.

الأسئلة الشائعة حول الدوال الزوجية والفردية

ما هي الدوال الزوجية والفردية؟

إذا كان f(x) = f(−x) لجميع x في مجالاتها، فإن الدوال الزوجية تكون متماثلة حول المحور y. الدوال الفردية متماثلة حول الأصل، مما يعني أنه بالنسبة لجميع x في مجالها، f(−x) = −f(x).

كيف تعرف إذا كانت الدالة زوجية أو فردية؟

تكون الدالة زوجية إذا كان f(-x) = f(x)، وتكون فردية إذا كان f(-x) = -f(x) لجميع العناصر في مجال f. إذا لم يلبي أيًا من هذه الخصائص، فهو ليس فرديًا ولا زوجيًا.

ما هو الفرق بين الدوال الدورية الفردية والزوجية؟

الفرق بين الدوال الدورية الفردية والزوجية: الدالة الزوجية تحقق f(−x) = f(x) لجميع x في المجال، بينما الدالة الفردية تحقق f(−x) = −f(x).

بالإضافة إلى الدوال الزوجية والفردية، يمكنك تعلم بعض المعارف الرياضية المهمة الأخرى مثل الأعداد المربعة ، والأعداد غير النسبية، والأعداد النسبية ، والأعداد الأولية ، والأعداد الطبيعية ... في قسم التعليم في Quantrimang.com.